label {
font-family: Heebo, Arial, sans-serif;
font-weight: bold;
}
סמנו ב-✔, או בטלו את הסימון, כדי להראות/להחביא את החלקים השונים:הגדרותמשפטיםהוכחותדוגמאותלחצו על תגיות ה-"הוכחה." כדי להראות/להחביא הוכחות
כל פקודה תתחיל ב-MKגדולות עש מיכאל קלי (Michael Kali), וזאת משתי סיבות:
כדי שבטבלת הקיצורים שבתוך \SpecialChar LyX תופענה כל הפקודות זו לצד זו.
הבחירה דווקא באותיות גדולות נועדה לוודא שהפקודות אינן מתנגשות עם פקודות \SpecialChar LaTeX מקוריות.
על הפקודות להיות קצרות ככל האפשר, וזאת כדי לאפשר את כתיבתן במהירות מבלי ליצור להן קיצור מקלדת. הסיבה לכך שלא ניצור קיצור מקלדת לכל פקודה היא שפעמים רבות ניצור פקודות שתיועדנה למקרים מסוימים מאוד, ואז יעבור זמן רב עד שנשתמש בקיצור המקלדת בפעם הבאה ולכן לא נזכור אותו - הרבה יותר פשוט לזכור את הפקודה שיצרנו מכיוון שיש לה תוכן אמיתי שקשור לפלט הרצוי מן הפקודה. סיבה נוספת היא שיצירת קיצור מקלדת לכל פקודה ולו החריגה ביותר תקשה עלינו ליצור קיצורי מקלדת לפקודות חשובות יותר. לפיכך פקודות שימושיות מאוד שבוודאי ניצור להן קיצור מקלדת ונשתמש בו פעמים רבות אינן צריכות להיות קצרות.
כדי להקל על כתיבת פקודות שלא יצרתי להן קיצור מקלדת כתבתי קיצור מקלדת שיוצר את הקידומת של כל פקודות ה-macrosשלי ואז כל מה שנותר הוא להקיש שלוש-ארבע אותיות כדי לבחור את הפקודה הרצויה, קיצור המקלדת המדובר הוא "Ctrl+k".
לכל גופן יש קידומת בת שתי אותיות.
\(\:\)
\(\:\)קבוצות ופונקציות לפי קורסיםLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\:\)המספרים המרוכבים ופונקציות מרוכבות\(\:\)
\(\newcommand{\MKcis}{\text{cis}}\)\(\cos+i\cdot\sin\). המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKre}{\text{Re}}\)החלק הממשי של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKim}{\text{Im}}\)החלק המדומה של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.מופיע גם כתמונה של פונקציה.
\(\newcommand{\MKbigcupdot}{\bigsqcup}\)איחוד זר גדול
הקוד שלהלן מייצר את הסימון לאיחוד זר כסימן של איחוד רגיל עם נקודה בתוכו. הקוד מבוסס על זה שמופיע בתגובה הרביעית שבשרשור הזה: https://tex.stackexchange.com/questions/3964/mathematical-symbol-for-disjoint-set-union.
יהי \(\left(\Omega,\MKclf,\MKbbp\right)\) מרחב הסתברות, ויהיו \(X,Y:\Omega\rightarrow\MKreal\) שני משתנים מקריים.
1.1 הגדרות
הגדרה 1.1. התפלגויות בדידות נפוצות
נאמר ש-\(X\) בעל התפלגות קבועה אם קיים \(c\in\MKreal\) כך ש-\(X\MKalmsur c\).
נאמר ש-\(X\) בעל התפלגות אחידה בדידה על קבוצה סופית \(S\subseteq\MKreal\), ונסמן \(X\sim\MKunif\left(S\right)\), אם לכל \(s\in S\) מתקיים \(\MKbbp\left(X=s\right)=\frac{1}{\left|S\right|}\).
נאמר ש-\(X\) בעל התפלגות ברנולי1על שם יאקוב ברנולי. עם הסתברות הצלחה \(p\in\left(0,1\right)\), ונסמן \(X\sim\MKber\left(p\right)\), אם \(\MKbbp\left(X=1\right)=p\) ו-\(\MKbbp\left(X=0\right)=1-p\).
נאמר ש-\(X\) בעל התפלגות גאומטרית עם הסתברות הצלחה \(p\in\left[0,1\right]\), ונסמן \(X\sim\MKgeo\left(p\right)\), אם לכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים \(\MKbbp\left(X=n\right)=\left(1-p\right)^{n}\cdot p\).
נאמר ש-\(X\) בעל התפלגות בינומית עם \(n\) ניסיונות והסתברות הצלחה \(p\in\left[0,1\right]\), ונסמן \(X\sim\MKbin\left(n,p\right)\), אם לכל \(n\geq k\in\MKnatural_{0}\) מתקיים \(\MKbbp\left(X=k\right)={n \choose k}p^{k}\left(1-p\right)^{n-k}\).
נאמר ש-\(X\) בעל התפלגות היפר-גאומטרית עם \(n\) ניסיונות, \(a\) הצלחות אפשריות ו-\(b\) כישלונות אפשריים ונסמן \(X\sim\MKhypergeo\left(n,a,b\right)\), אם לכל \(n\geq k\in\MKnatural\) מתקיים:\[
\MKbbp\left(X=k\right)=\frac{{a \choose k}\cdot{b \choose n-k}}{{a+b \choose n}}
\]
נאמר ש-\(X\) בעל התפלגות פואסון2על שם סימאון דני פואסון. עם שכיחות \(0\leq\lambda\in\MKreal\), ונסמן \(X\sim\MKpoi\left(\lambda\right)\), אם לכל \(k\in\MKnatural_{0}\) מתקיים \(\MKbbp\left(X=k\right)=e^{-\lambda}\cdot\frac{\lambda^{k}}{k!}\).
\(\clubsuit\)
להלן מפורטות אינטואיציות להתפלגויות הנ"ל, אך לפני שנתחיל נבהיר שכשנאמר כאן "הטלת מטבע" כוונתנו להטלת מטבע שאינו בהכרח הוגן, כלומר ייתכן שההסתברות שייפול על פלי גדולה משייפול על עץ או להפך.
התפלגות ברנולי מייצגת הטלת מטבע פעם אחת.
התפלגות גאומטרית מייצגת ניסוי שבו אנו מטילים מטבע שוב ושוב עד שיוצא פלי, ומחזירים את מספר ההטלות.
התפלגות בינומית מייצגת ניסוי שבו אנו מטילים מטבע \(n\) פעמים, ומחזירים את מספר הפעמים שיצא פלי.
התפלגות היפר-גאומטרית מייצגת ניסוי כזה: בכד יש \(a\) כדורים לבנים ו-\(b\) כדורים שחורים, אנו מוציאים מהכד \(n\) כדורים בזה אחר זה ללא החזרה, ומחזירים את מספר הכדורים השחורים שהוצאנו מן הכד. מספר האפשרויות שנוציא בדיוק \(k\) כדורים לבנים הוא \({a \choose k}\cdot{b \choose n-k}\), ומספר האפשרויות בכלל הוא \({a+b \choose n}\), לפיכך ההסתברות להוציא בדיוק \(k\) כדורים לבנים היא \(\frac{{a \choose k}\cdot{b \choose n-k}}{{a+b \choose n}}\) (לכל אחת מן האפשרויות יש הסתברות זהה).
צריך להסביר את התפלגות פואסון
מסקנה 1.2. משתנה מקרי שהתפלגותו היא אחת מאלה שפורטו בהגדרה האחרונה הוא משתנה מקרי בדיד.
1.2 התפלגות ברנולי והתפלגויות גאומטריות/בינומיות
טענה 1.3. יהי \(p\in\left(0,1\right)\), ותהא \(\left(X_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרת משתנים מקריים בלתי-תלויים בעלי התפלגות \(\MKber\left(p\right)\)3כדי להוכיח שאכן קיימת סדרה כזו יש צורך בתורת המידה.. המשתנה המקרי \(Z:\Omega\rightarrow\MKreal\MKcupdot\left\{ \infty\right\} \)4\(\infty\) הוא איבר כלשהו שאינו שייך ל-\(\MKreal\), ע"פ האקסיומות של תורת הקבוצות אכן קיימת קבוצה כזו (כגון \(\left\{ \MKreal\right\} \))., המוגדר ע"י (לכל \(\omega\in\Omega\)):\[
Z\left(\omega\right):=\begin{cases}
\min\left\{ n\in\MKnatural\mid X_{n}\left(\omega\right)=1\right\} & \exists n\in\MKnatural\ X_{n}\left(\omega\right)=1\\
\infty & \text{אחרת}
\end{cases}
\]הוא בעל התפלגות \(\MKgeo\left(p\right)\).
\(\clubsuit\)
זוהי בדיוק האינטואיציה שהתפלגות ברנולי היא הטלת מטבע, והתפלגות גאומטרית היא הטלת מטבע חוזרת ונשנית עד שיוצא פלי.
טענה 1.4. יהיו \(\MKseq X,n:\Omega\rightarrow\MKreal\) משתנים מקריים בלתי-תלויים בעלי התפלגות \(\MKber\left(p\right)\). המשתנה המקרי \(Z:\Omega\rightarrow\MKreal\) המוגדר ע"י (לכל \(\omega\in\Omega\)):\[
Z\left(\omega\right):=\sum_{i=1}^{n}X_{i}\left(\omega\right)
\]הוא בעל התפלגות \(\MKbin\left(n,p\right)\).
\(\clubsuit\)
זוהי בדיוק האינטואיציה שהתפלגות ברנולי היא הטלת מטבע, והתפלגות בינומית היא הטלת מטבע \(n\) פעמים (שאינן תלויות זו בזו).
1.3 התפלגות גאומטרית
יהיו \(X,Y:\Omega\rightarrow\MKreal\) משתנים מקריים.
טענה 1.5. אם \(X\) נתמך על \(\MKnatural\) אז התנאים הבאים שקולים:
קיים \(p\in\left(0,1\right)\) כך ש-\(X\sim\MKgeo\left(p\right)\).
מתקיים \(\MKbbp\left(X>n\right)=\left(1-p\right)^{n}\) לכל \(n\in\MKnatural\).
משפט 1.6. תכונת חוסר הזיכרון אם \(X\) נתמך על \(\MKnatural\) כך ש-\(\MKbbp\left(X>1\right)>0\). התנאים הבאים שקולים:
קיים \(p\in\left(0,1\right)\) כך ש-\(X\sim\MKgeo\left(p\right)\).
לכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים \(X\MKdist\left(X-n\mid X>n\right)\).
\(X\MKdist\left(X-1\mid X>1\right)\).
1.4 התפלגות בינומית והתפלגות פואסונית
טענה 1.7. אם \(X\sim\MKbin\left(n,p\right)\) ו-\(Y\sim\MKbin\left(m,p\right)\), אז \(X+Y\sim\MKbin\left(n+m,p\right)\).
\(\clubsuit\)
גם טענה זו אינטואיטיבית מאוד לאור האינטואיציה להתפלגות בינומית: כל משתנה מקרי "סופר" את מספר ההצלחות לאורך מספר ההטלות המתאים לו, ויחד הם "סופרים" את מספר ההצלחות בכל ההטלות יחד.
טענה 1.8. יהי \(0<\lambda\in\MKreal\), תהא \(\left(X_{n}\right)_{n=\left\lceil \lambda\right\rceil }^{\infty}\) סדרת משתנים מקריים כך ש-\(X_{n}\sim\MKbin\left(n,\frac{\lambda}{n}\right)\) לכל \(\lambda\leq n\in\MKnatural\), ויהי \(Z:\Omega\rightarrow E\) משתנה מקרי כך ש-\(Z\sim\MKpoi\left(\lambda\right)\). לכל \(k\in\MKnatural_{0}\) מתקיים:\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\MKbbp\left(X_{n}=k\right)=\MKbbp\left(Z=k\right)
\]
טענה 1.9. אם \(X\sim\MKpoi\left(\lambda_{1}\right)\) ו-\(Y\sim\MKpoi\left(\lambda_{2}\right)\), אז \(X+Y\sim\MKpoi\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right)\).
טענה 1.10. אם \(X\sim\MKpoi\left(\lambda\right)\) ו-\(\left(Y\mid X=n\right)\sim\MKbin\left(n,p\right)\) לכל \(n\in\MKnatural_{0}\), אז \(Y\sim\MKpoi\left(\lambda p\right)\).
1.5 תוחלת שונות והפונקציה היוצרת מומנטים
התפלגות
תוחלת
שונות
הפונקציה יוצרת המומנטים
קבועה \(c\)
\(c\)
\(0\)
\(e^{tc}\)
\(\MKunif\left(S\right)\)
\(\frac{1}{\left|S\right|}\cdot\sum_{s\in S}s\)5או בפשטות: התוחלת היא הממוצע החשבוני של \(S\).
יהי \(\left(\Omega,\MKclf,\MKbbp\right)\) מרחב הסתברות, ויהיו \(X,Y:\Omega\rightarrow\MKreal\) שני משתנים מקריים.
2.1 הגדרות
תזכורת:
מתקיים \({\displaystyle \intop_{0}^{\infty}e^{-x}\ dx=1}\) וכן \({\displaystyle \intop_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}\ dx=\sqrt{\pi}}\).
הגדרה 2.1. התפלגויות רציפות בהחלט נפוצות
נאמר ש-\(X\) בעל התפלגות אחידה על קטע \(\left[a,b\right]\subseteq\MKreal\), ונסמן \(X\sim\MKunif\left(\left[a,b\right]\right)\), אם צפיפותו היא (לכל \(x\in\MKreal\)):\[
f_{X}\left(x\right)=\begin{cases}
\frac{x}{b-a} & x\in\left[a,b\right]\\
0 & \text{אחרת}
\end{cases}
\]
נאמר ש-\(X\) בעל התפלגות מעריכית עם פרמטר \(0<\lambda\in\MKreal\), ונסמן \(X\sim\MKexp\left(\lambda\right)\), אם צפיפותו היא (לכל \(x\in\MKreal\)):\[
f_{X}\left(x\right)=\begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x} & x\geq0\\
0 & x<0
\end{cases}
\]אם \(X\sim\MKexp\left(1\right)\) נאמר גם ש-\(X\) בעל התפלגות מעריכית תקנית, במקרה כזה מתקיים (לכל \(x\in\MKreal\)):\[
f_{X}\left(x\right)=\begin{cases}
e^{-x} & x\geq0\\
0 & x<0
\end{cases}
\]
נאמר ש-\(X\) בעל התפלגות נורמלית עם תוחלת \(\mu\) ושונות \(\sigma^{2}\), ונסמן \(X\sim N\left(\mu,\sigma^{2}\right)\), אם צפיפותו היא (לכל \(x\in\MKreal\)):\[
f_{X}\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\cdot\exp\left(-\left(\frac{x-\mu}{\sqrt{2}\sigma}\right)^{2}\right)
\]אם \(X\sim N\left(0,1\right)\) נאמר גם ש-\(X\) בעל התפלגות נורמלית תקנית, במקרה כזה מתקיים (לכל \(x\in\MKreal\)):\[
f_{X}\left(x\right)=\frac{e^{-\frac{x^{2}}{2}}}{\sqrt{2\pi}}
\]
יהי \(X:\Omega\rightarrow\MKreal\) משתנה מקרי.
2.2 הזזות ומתיחות
טענה 2.2. אם \(X\sim\MKunif\left(\left[a,b\right]\right)\) (\(a,b\in\MKreal\) ו-\(a<b\)), אז לכל \(\alpha,\beta\in\MKreal\) כך ש-\(\alpha>0\), מתקיים \(\alpha\cdot X+\beta\sim\MKunif\left(\left[\alpha\cdot a+\beta,\alpha\cdot b+\beta\right]\right)\).
טענה 2.3. אם \(X\sim\MKexp\left(\lambda\right)\) (\(0<\lambda\in\MKreal\)), אז לכל \(0<\alpha\in\MKreal\) מתקיים \(\alpha\cdot X\sim\MKexp\left(\frac{\lambda}{\alpha}\right)\).
מסקנה 2.4. אם \(X\sim N\left(\mu,\sigma^{2}\right)\) (\(\mu,\sigma\in\MKreal\), \(\sigma>0\)), אז לכל \(\alpha,\beta\in\MKreal\) כך ש-\(\alpha>0\), מתקיים \(\alpha\cdot X+\beta\sim N\left(\alpha\cdot\mu+\beta,\alpha^{2}\cdot\sigma^{2}\right)\).
2.3 התפלגות מעריכית
משפט 2.5. תכונת חוסר הזיכרון אם \(X\sim\MKexp\left(\lambda\right)\) (\(0<\lambda\in\MKreal\)), אז לכל \(x_{0}\in\MKreal\) מתקיים \(X\MKdist\left(X-x_{0}\mid X>x_{0}\right)\).
משפט 2.6. אם \(X\sim\MKexp\left(\lambda\right)\) (\(0<\lambda\in\MKreal\)), \(\left\lceil X\right\rceil \sim\MKgeo\left(1-e^{-\lambda}\right)\).
\(\clubsuit\)
כלומר התפלגות מעריכית היא הגרסה הרציפה של התפלגות גאומטרית.
2.4 התפלגות נורמלית
סימון:
נסמן ב-\(\Phi\) את פונקציית ההתפלגות המצטברת של משתנה מקרי בעל התפלגות נורמלית תקנית.
מסקנה 2.7. אם \(X\sim N\left(\mu,\sigma^{2}\right)\) (\(\mu,\sigma\in\MKreal\), \(\sigma>0\)), אז \(F_{X}\left(x\right)=\Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)\).
טענה 2.8. אם \(X\) ו-\(Y\) בלתי-תלויים, ובנוסף \(X\sim N\left(\mu_{X},\left(\sigma_{X}\right)^{2}\right)\) ו-\(Y\sim N\left(\mu_{Y},\left(\sigma_{Y}\right)^{2}\right)\) (\(\mu_{X},\mu_{Y},\sigma_{X},\sigma_{Y}\in\MKreal\), \(\sigma_{X},\sigma_{Y}>0\)), אז \(X+Y\sim N\left(\mu_{X}+\mu_{Y},\left(\sigma_{X}\right)^{2}+\left(\sigma_{Y}\right)^{2}\right)\).
משפט 2.9. משפט הגבול המרכזי אם איברי \(\left(X_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) בלתי-תלויים, שווי-התפלגות, ובעלי שונות סופית7ולכן הם גם בעלי תוחלת סופית., אז:\[
\frac{1}{\sqrt{n}}\cdot\sum_{k=1}^{n}X_{k}\MKlimd Z
\]כאשר \(Z:\Omega\rightarrow\MKreal\) הוא משתנה מקרי בעל התפלגות \(N\left(\mu,\sigma^{2}\right)\), \(\mu\) היא התוחלת של איברי \(\left(X_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) ו-\(\sigma^{2}\) היא השונות שלהם.